Respuesta en frecuencia y función de transferencia.
Aquellos que están familiarizados con Teoría de Control,
sabrán que la función de transferencia puede decirnos cómo se comportará un
sistema si variamos la frecuencia de la señal de entrada en él. La función de
transferencia también nos puede decir otras cosas como la magnitud de la señal
de salida si introducimos una señal con valor constante (que en nuestro caso
sería Corriente Directa) e incluso las etapas que pudieran ser necesarias para
armar el sistema físicamente.
Una manera práctica para analizar la respuesta en el dominio
de la frecuencia de manera gráfica es el diagrama de Bode. Éste consiste en un
gráfico a modo de plano cartesiano; en las abscisas tenemos una escala
logarítmica de la frecuencia mientras que las ordenadas tenemos una escala
lineal de la ganancia, expresada en dB. Conociendo y analizando las “asíntotas”;
es decir, el comportamiento IDEAL en la gráfica, podemos determinar cuál ha
sido la función de transferencia responsable de dicha respuesta, y acercarnos
bastante a los resultados deseados.
En fin, la transformada de Laplace y la función de
transferencia son herramientas poderosas, las cuales utilizaremos en este y
otros diseños.
Polos
Los polos en una función de transferencia se pueden
identificar fácilmente como el denominador de dicha función. Existen tres tipos
de polos; en el origen, los reales y los complejos.
Los polos en el origen se comportan como un filtro
pasa-bajas, cuya frecuencia de corte está en cero; y tiene una ganancia inicial
de 20dB. La pendiente con la que cae la ganancia es de -20dB/dec.; lo cual nos
dice que cuando llega a la velocidad angular de 1rad/seg., la ganancia de la
señal es de 0dB.
Los polos reales son aquellos que se encuentran ubicados con
un valor numérico real; es decir, que tiene una única solución sin números
imaginarios o complejos. La respuesta en frecuencia de un polo es igual a la de
un filtro pasa-bajas, cuya frecuencia de corte se encuentra en el valor
absoluto de dicho polo. La pendiente con la que cae la ganancia después de Wn
es de -20dB/dec.
Los polos
complejos tienen la siguiente forma canónica:
Que expresado en el dominio de la
frecuencia tenemos que:
A diferencia del resto de los polos, el
polo complejo se refiere a un sistema de segundo orden. Esto quiere decir, que
se trata de un sistema que requiere de dos componentes reactivos (como
capacitores o inductores, por ejemplo). También significa que podemos alterar
la estabilidad de dicho sistema a nuestro antojo. Controlando la variable
podemos deducir qué tan estable es un sistema;
esto puede ser de utilidad para el diseño de osciladores, ya que éstos
requieren un sistema inestable. Esto permite que la energía dentro del circuito
varíe de manera periódica, y controlando la ganancia de dicho sistema, logramos
que la amplitud de la señal oscilante que resulte sea constante. No descarto
que alguna vez haré el diseño de un oscilador utilizando éste principio.
Volviendo a nuestro asunto, el polo
complejo se comporta, al igual que todos los polos, como un filtro pasa-bajas
cuya frecuencia de corte es igual a Wn. Sin embargo, tiene una
pendiente de -40dB/dec. después de ese punto. Otra manera de conseguir una
respuesta en frecuencia similar al polo complejo es la de poner en cascada (o
sea, conectar dos etapas en serie) dos etapas con polos reales iguales.
Ceros.
Un cero lo podemos ubicar como el numerador en una función
de transferencia. También existen ceros en el origen, reales y complejos. Su
comportamiento es igual al de un filtro pasa-altas, por lo que los ceros en el
origen y los reales tienen un aumento de ganancia de 20dB/dec., mientras que el
complejo aumenta a razón de 40dB/dec.
El cero en el origen tiene una ganancia inicial de -20dB, subiendo
hasta 0dB cuando llega a 1rad/seg.
Sus formas son las siguientes:
Análisis de diagrama de Bode: Obtención de la función de transferencia
Analizando detenidamente el diagrama asintótico del diagrama
de Bode, podemos darnos cuenta de que tenemos:
+Un polo real en 50Hz
+Un cero real en 500Hz
+Un polo real en 2122Hz
Sin considerar la ganancia inicial de 20dB, la cual se puede
compensar. Más adelante se verá con más detalle la forma en la que se podría
lograr. En todo caso, tenemos que la función de transferencia de cada etapa,
son las siguientes:
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