De la función de transferencia al mundo físico: Circuitos Analógicos.
Una vez que hemos obtenido la función de transferencia de
éste sistema podemos darnos una idea muy aproximada del sistema que resultará
en el mundo físico. En este caso, la transformaremos a un circuito electrónico.
Existen muchas formas de obtener el mismo resultado, a grandes rasgos existen
tres tipos básicos: Analógico Pasivo, Analógico Activo y Digital.
El sistema Analógico Pasivo se compone básicamente por
resistores, condensadores e inductancias. La ventaja es que suelen ser baratos
y muy simples, no requieren de fuentes de alimentación externa. Su desventaja
es que no nos puede aportar la ganancia deseada; es decir, si se atenúa la
señal (que lo hará) no podemos recuperar esa ganancia perdida, por lo que
requerimos de un circuito activo como un amplificador para recuperar la energía
perdida a lo largo del circuito.
El sistema Analógico Activo consiste de elementos tales como
amplificadores con mallas de retroalimentación, en las cuales encontramos
elementos pasivos como en el sistema anterior. La ventaja radica en que se
puede manipular la ganancia del sistema a voluntad; su desventaja es que
requiere de fuente externa y suelen ser algo más costosos.
Por último, tenemos el sistema digital. La señal pasa a
través de un microcontrolador; dentro del microcontrolador la señal pasa a
través un convertidor analógico a digital (A/D). Se programa un algoritmo que
emula el comportamiento de la función de transferencia y se devuelven los
valores a un convertidor digital a analógico (D/A); dicha señal se puede
amplificar y tiene prácticamente el mismo resultado que un sistema analógico, y
en ocasiones incluso mejor. La ventaja de éste tipo de sistemas es la
simplicidad en el diseño, no se requiere mucho hardware ni componentes pasivos
o activos.
En el mundo de la melomanía, existen muchas personas que
prefieren el sonido vintage,
totalmente analógico, y creen que el procesamiento digital hace que pierda su
“encanto”. En fin, hay gustos para todo.
Dado que los sistemas analógicos han tenido un amplio
desarrollo, incluso más que los sistemas digitales, es recomendable deducir la
función de transferencia en tiempo continuo o tiempo “analógico” para después
deducir la función de transferencia en tiempo discreto o “digital”.
Antes de continuar, realicé una simulación en MATLAB para
verificar que la función de transferencia fuera la correcta. El código se
muestra a continuación, y aquí está el resultado de la simulación con el
diagrama de Bode:
Filtros Butterworth y otros circuitos
En la primera parte de éste proyecto, se desarrollará un
sistema analógico activo. Debido su
estabilidad y fácil configuración, preferí utilizar Amplificadores
Operacionales.
Cada amplificador operacional será equivalente a cada etapa
o función de transferencia individual, entonces, usaré 3 etapas o circuitos
conectados en cascada.
Existen una extensa variedad de filtros, sin embargo, por su
simplicidad optaré por el filtro butterworth. La función de transferencia de un
filtro butterworth de primer grado, cuyos componentes pasivos en su red de
entrada y de retroalimentación es igual a la de un polo real, cuya frecuencia
de corte es igual a un radián sobre segundo.
El circuito consiste en un amplificador operacional
configurado como amplificador inversor. La entrada inversora tiene conectada
una resistencia, mientras que la red de retroalimentación consiste en un
resistor y un capacitor dispuestos en paralelo.
Para simplificar el texto, podemos decir que:
Recordando que la ganancia es igual al
cociente de la resistencia de retroalimentación y la resistencia que va del
punto de retroalimentación a masa, aumentado en una unidad; podemos decir que
la función de transferencia de dicho circuito es el siguiente:
Hasta ahora hemos obtenido los valores de
los componentes pasivos de todas las etapas, sin embargo, como se mencionó
anteriormente, falta hacer un ajuste de la ganancia. Ya que se trata de
circuitos activos configurados como ganancia unitaria, una vez construyamos el
circuito tendremos que la ganancia inicial será 0dB. Pero esto se puede
solucionar de tres formas:
1.
Agregar una etapa de amplificación al
final del sistema. Aunque parece muy sencilla de calcular, representa agregar
otro componente extra al circuito.
2.
Agregar un cero al inicio del sistema.
Otra gran idea, pero además de requerir más componentes, puede ser inestable
con los amplificadores operacionales. A pesar de que estos dispositivos pueden proporcionar
enormes ganancias de una señal, esto se encuentra limitado por la alimentación
del circuito; por lo que podría ser contraproducente a frecuencias altas.
3.
Modificar la ganancia de una de las
etapas. Buena idea, no implica agregar más componentes. Sólo que se debe
acomodar con cuidado cada etapa para evitar ruidos generados por la
amplificación o saturación de la señal.
Consideremos la tercera opción. Modificar
la ganancia en una de las etapas. Para ello, tomemos como referencia la función
de transferencia de un filtro butterworth de primer grado, como el que usamos
para generar los polos:
Según la ecuación anterior, la función de
transferencia es igual a un filtro cuya frecuencia de corte está definida por el
valor del condensador y el resistor de retroalimentación; y que a su vez tiene
una ganancia igual al cociente de las resistencias. Por lo tanto, podemos
modificar el valor de la resistencia de entrada del filtro sin alterar la
frecuencia de corte del circuito.
Sin embargo, es preferible conservar una
resistencia de entrada de 10kOhms, por lo que se tendrán que modificar los
componentes de retroalimentación para conservar la frecuencia de corte y
obtener la ganancia deseada. Ahora, ¿qué ganancia deseamos? En primera
instancia nos dice RIAA que debe iniciar con 20dB, lo que significa que la
ganancia deseada es de 1020dB/20=10.
Entonces, el resistor de
retroalimentación será diez veces mayor que el de entrada: 100kOhms. Ahora, se
recalcula el capacitor, en este caso del primer polo:
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